姚勁宇的部落格

   什麼是時間？大部分的人(像我老姊)都會覺得這是一個非常 Philosophy，而非Science的問題，因為有些人不知道「時間」和「科學」能扯上什麼關係。這章我先講時間的哲學問題，後面兩章討論時間和物理學的關係。

   在約公元前450年時，古希臘哲學家芝諾提出了一系列有關時間的悖論，以下為蠻有名的兩個：

一、阿基里斯悖論：

   阿基里斯和烏龜賽跑，阿基里斯的速度是烏龜的100倍，所以先讓烏龜100公尺。然而，每當阿基里斯抵達烏龜行經之處時，烏龜又前進了一點，阿基里斯又有一段距離需要追趕。這個過程會永遠持續下去，因此會有無限個時間相加，所以阿基里斯永遠追不上烏龜。

二、二分悖論：

   二分悖論能用跑百米來說明：有一個人跑百米時要先跑總長的1/2(50公尺)，接著要再跑總長的1/4(25公尺)，再來是1/8(12.5公尺)，和阿基里斯悖論一樣，會有無限個時間相加，所以永遠跑不到終點。

   後來數學家發現無限的數相加，可能會求出有限的解，這個現象稱為「收斂」(Convergent)，而有此現象的級數為「收斂級數」(Convergent Series)。當一個無窮等比級數(Infinite Geometric Series，有無限項的等比級數，像芝諾悖論中的兩個級數)公比的絕對值小於1時，這個無窮等比級數就一定是一個收斂級數，而級數和的公式為：a/(1-r)，其中a是首項、r是公比。

   芝諾悖論中的兩個無窮等比級數都是收斂級數，可以進行以下運算：

一、阿基里斯悖論：

    (一)阿基里斯移動距離=100/(1-1/100)=100/(99/100)=10000/99

    (二)烏龜移動距離=100+1/(1-1/100)=100+1/(99/100)=100+100/99=(9900+100)/99=10000/99

二、二分悖論：

   百米跑者跑的距離=50/(1-1/2)=50/(1/2)=100

   運算過後，發現芝諾悖論的問題就是認為無限項相加得到的解也是無限，因此悖論的內容是有瑕疵的，但芝諾悖論開始了人類對時間的探究。

連結：

無窮等比級數和公式