我先問一個蠻有趣的問題：假設有一條穿透地心的直線隧道，隧道內是真空的，那請問：有一個人跳到那條隧道時，他(或她)最後會停在哪裡呢？
當時劉教授問這個時，有些同學回答：那個人一掉到地心就停住了啊！接著有另外一些同學回答：那個人應該會在隧道裡來回移動，最後才停在地心。只不過我覺得他應該會行簡諧運動，在隧道內來回移動不會停。
我把這個穿透地心假設分成三個部分：
一、計算那個人受的重力。
二、計算那個人的位移函數。
三、模擬實驗證明(我沒有設備做，不過一定有人做得出來)。
四、統合所有簡諧運動函數的特性。
一、計算那個人受的重力。
在距離地心r處時所受的力重力是由地球半徑r以內的總質量產生的，而那個質量為4πr3ρ/3，因此那個人受的重力為：
F=-GMm/r2=-4GπrE3ρm/3r2
F：重力
G：重力常數
M：地球質量
m：人的質量
r：人和地心的距離
rE：當r<地球的半徑RE時，rE=r；當r>RE時，rE=RE
ρ：地球密度
我再把函數分成兩部分：
當r<RE時
rE=r
F=-4GπrE3ρm/3r2=-4Gπr3ρm/3r2=-4Gπrρm/3
當r>RE時
rE=RE
F=-4GπrE3ρm/3r2
因此物體在距離地心各個長度時所受的重力如下：
二、計算那個人的位移函數。
因為F=ma，而加速度a是位移的二次微分(這裡的位移其實就是r)，d2r/dt2，所以：
m d2r/dt2=-4Gπrρm/3
d2r/dt2=-4Gπrρ/3
d2 r(t)/dt2= -4Gπρ/3 r(t)
這種二次微分會和函數自己的負值成正比是會隨時間來回振動的函數，而這種函數有兩種──正弦和餘弦函數。
d sinθ/dθ=cosθ
d cosθ/dθ=-sinθ
d2 sinθ/dθ2 =-sinθ
d2 cosθ/dθ2 =-cosθ
因此可以把r(t)變成一個餘弦函數(因為剛開始的r是r(t)的最大值)：
r(t)=A cosθ(t)
A是振幅(amplitude)，是r(t)的最大正值。隧道的振幅為RE：
r(t)=RE cosθ(t)
而θ等於時間t成和角速度ω相乘：
θ(t)=ωt
r(t)=RE cosωt
再將r(t)微分：
r’(t)=-REω sinωt
r’’(t)=-REω2 cosωt=-4Gπρ/3 r(t)
r(t)=REω2 cosωt/(4Gπρ/3)
RE cosωt=REω2 cosωt/(4Gπρ/3)
ω2/(4Gπρ/3)=1
ω=√(4Gπρ/3)=2√(Gπρ/3)
r(t)= RE cos2√(Gπρ/3) t
把函數繪成下圖：
三、模擬實驗證明(我沒有設備做，不過一定有人做得出來)。
因為重力和電磁力在古典物理中的方程式很接近(F=-GMm/r2和F=-Keq1q2/r2)，所以實驗可用電磁力模擬：
圖中藍色的物體帶負電、紅色的部分帶正電，而管子內抽真空，此外在上面要再放一塊帶正電的東西，且和帶負電的物體間的電磁力大小跟帶負電的物體和地球間的重力大小一樣。
四、統合所有簡諧運動函數的特性。
還有一些會簡諧運動的東西，像：單擺、彈簧。它們都有的特性如下：
(一)能量間會轉換
當位能U最大時，動能KE為0，接著位能轉換成動能，位能為0，接著動能轉換成位能，動能變回0。
(二)力的大小和位移的負值成正比
因為力的大小和位移的負值成正比時(用F=-kx來表示)，代表物體會受到往位移為0的地方的力，而當物體到位移為0的地方時位能全轉換成動能，因此會來回振動。
2013/08/22
穿透地心-補充
昨天(8/24)劉教授跟我說能用這個函數計算一些相關數據：
一、週期T
r(t)= RE cos2√(Gπρ/3) t
2π=2√(Gπρ/3) T
T=π/√(Gπρ/3)
二、頻率f
f=1/T
f=√(Gπρ/3)/ π
三、最快速度VMAX
V(t)= r’(t)=-2RE√(Gπρ/3) sin2√(Gπρ/3) t
MAX -sinx=1
MAX -2RE√(Gπρ/3) sin2√(Gπρ/3) t=2RE√(Gπρ/3)
VMAX=2RE√(Gπρ/3)
四、最高速時的位置
最高速時2√(Gπρ/3) t=3N/2 π
將2√(Gπρ/3) t=3N/2 π代入r(t)
r(t)= RE cos3N/2 π=0
最高速時r(t)=0
注：V用大寫是因為VMAX中若用小寫v和MAX差不多大。
2013/08/25
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